第一眼的方案

第一眼看到的解決方案不一定是正確的。

若 $x^x÷x=x^2$，則 $x=?$

易解（錯解）：

$$\begin{array}{cc}{x}^x÷x& =x^2\\ \Rightarrow x^x\times x^{-1}& =x^2\\ \Rightarrow x-1& =2\\ \Rightarrow x& =3\end{array}$$

正解：

$$\begin{array}{cc}{x}^x÷x& =x^2\\ \Rightarrow x& \ne 0\\ \Rightarrow x^2& \ne 0\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{cc}{x}^x÷x& =x^2\\ \Rightarrow x^x÷x÷x^2& =1\\ \Rightarrow x^{x-3}& =1\end{array}$$

假設

$$\begin{array}{cc}{a}^n& =1\end{array}$$

則：

$$\{\begin{array}{c}n=0,a\ne 0\\ a=1\\ a=-1,n=2k,k=\text{常數}\end{array}$$

所以：

$$\begin{array}{cc}x-3& =0\\ \Rightarrow x& =3\end{array}$$

或

$$\begin{array}{cc}x& =1\\ \Rightarrow 1^{-2}& =1\end{array}$$

或

$$\begin{array}{cc}x& =-1\\ \Rightarrow 1^{-4}& =1\end{array}$$

所以

若 $x^x÷x=x^2$

則 $x=\pm 1,3$

現實的事務，正確的解決方案比第一眼看到的答案還多。